Математические науки от Пифагора (КВАДРИВИУМ)

Считается, что математические науки¹ Пифагор позаимствовал у египетских, финикийских и халдейских жрецов. Не забудем и о его общении с Фалесом и Анаксимандром — жителями Милета, известными геометрами и астрономами.

Пифагор обнаружил, что гармоника, арифметика, геометрия и наука о фигурах, а также оптика в равной мере согласуются между собой. Поэтому он решил, что эти математические предметы и их начала — причины всего сущего.

Пифагор о числах

(YMNOΣ EIΣ APIΘMON)

Пифагор продвинул арифметику вперед и вывел ее за пределы обычных торговых вычислений, сравнивая вещи с числами (моделируя все вещи числами).

Пифагор, сын Мнесарха, самосец, впервые назвавший философию этим именем, считал началами числа и числовые пропорции (EYMMETPIAI), которые он называет «гармониями», а элементами — сочетания этих начал, так называемые геометрические элементы.

Он разделил числа на четные, нечетные, четно-четные, нечетно-нечетные, простые и составные, совершенные, дружеские, треугольные (1, 3, 6, 10), квадратные (1, 4, 9), пятиугольные.

Пифагор называл нечетные числа «гномонами» (ГNOMΩN), потому что при последовательном приложении к первым числам они, подобно линейным, сохраняют форму квадрата.

Пифагор открыл, что четыре кубических числа, из которых состоит Вселенная, образуются в десяти пропорциях.

Ему приписывают открытия эквивалентности (ТО ANTΙΠEIIONΘOΣ), пропорциональности, несоразмерности и иррациональности чисел.

С помощью самих чисел он делал удивительные предсказания и служил богам в соответствии с числами, считая, что подобное служение всего родственнее их природе. Пифагор изобрел числовые методы гадания.

Числам Пифагор приписывал следующие значения, часть которых составляет сокровенную тайну.

Единица (MONAΣ,- АΔОΣ) — первоначало тождества вещей самих себе и их постоянства, одна из мировых порождающих сил. Монада — начало всех чисел (АРХН TOY APIΘMOY), числа же — начала всех вещей (APXAI). Она — четно-нечетное число. Единица заключает в себе ограниченность и безграничность. Точка соответствует единице, полагал Пифагор. Монада — символ Бога. Единица — число Солнца, Космического «очага» и Тронов Зевса (Зевсова острога), Геры и Зевса-отца. Единица — священное число титанов Гипериона² и Теи³, Гелиоса⁴, Селены⁵, Эос⁶, Гемеры⁷, Геспера⁸ и Нике⁹. Монада — символ вселенской любви — Эрота-Фанета¹⁰. Монадическая часть души — это ее мужская половина. Монада порождает воду. Она предвещает при гадании с числами взрыв страсти. Единица соответствует творящей и формальной (формообразующей) причине, т. е. уму — богу. Единица, как знак «божественного света», определяет природу света, дуба и орла.

Двоица (ΔYAΣ,- AΔOΣ) — двойственность, источник и причина противоречий, дифференциации (причина появления нетождественности) и изменения вещей как в самих себе, так и по отношению друг к другу. Двоица — первый чет, который имеет предел. Линия соответствует двоице по Пифагору. Этому началу причастна большая часть тел вещественного мира, ибо диада соответствует страдательному и материальному началу, т. е. видимому космосу, диада — число Земли и всего земного мира, Луны и мира подлунного. Диадическая часть души — женская половина. Диадической природой наделены Гея (Хтония)¹¹, Феба¹² и Атлант¹³, Лето¹⁴ и Астерия¹⁵, Геката¹⁶ и Артемида¹⁷, Гиады¹⁸. Двойка — «знак света». Двоица определяет природу воды, рождает воду, порождает металлы медь, серебро, золото, она же лежит в основе белого цвета, белых водных цветов (кувшинок, лилий, лотосов), из деревьев — ивы, из птиц — белых лебедей (гусей, фламинго, аистов) и белых петухов, из зверей — оленей (ланей). Двойственность — атрибут фантазии (ΦANTAΣMA) и меланхолии. Диада также символ молвы (мнения; ΔОΞА), так как она переменчива надвое; еще ее называли движением (KINΣZΣ и ЕПΙΘΣΙΣ).

Троица (TPIAΣ,-, АΔОΣ) — первое порождение Двоицы, начинающее уходящий в бесконечность ряд чисел, символизирующий недостаток и ущербность двух основных порождающих сил в этом ряду. Она же первое нечетное число, не делимое на два, которое безгранично (не имеет предела). Как говорил Пифагор, целое (ТО ПАΝ) и «все вещи» (ТА ПANTA) определены тремя: начало, середина и конец; они содержат число целого, и при этом — троицу. Плоскость соответствует тройке. Она является и основой трехмерного пространства — длины, ширины и высоты. Триада — одна из сторон эпитрита и одна из составляющих пропорции золотого сечения. Триада — «воздушный, небесный знак». Она — основа трех времен года: роста, цветения и плодоношения (Три Оры¹⁹ — Ауксо, Талло и Карпо). Троица — учебный тривиум (грамматика, риторика и поэтика). Она — символ триады верховных богов — олимпийцев (Зевс — Аид — Посейдон), символ титанов Крия²⁰ и Дионы²¹, их сыновей Персая²², Палланта²³ и Астрая²⁴ и внуков — ветров, созвездий, Гекаты, Мощи, Насилия, Ревности и Победы, планеты Пироент (Марс). Триада — священное число Гермеса Трижды-величайшего²⁵ и божественного слова (ΛОГОΣ), Гекаты у трех дорог, трагического треугольника — Гефеста²⁶, Ареса²⁷ и Афродиты²⁸, Гармонии²⁹. Троица — символ праведного гнева и негодования, а также скаредности и скупости. Тройка определяет природу красного цвета, красных цветов (горицвет, адонис, пион), из деревьев — мирта, из животных — барана (овна) и кабана (вепря).

Четверица (TETPAKTIΣ,- IΔOΣ) — первоначало первого квадрата и первого тела — пирамиды (объемное тело вообще соответствует четверице), одна из сторон эпитрита. Тетрактида — основа десятки, так как из суммы первых четырех чисел рождается десятка (1+2+3+4=10), основа гармонии и системы музыкальных интервалов — 2 к 1 (октава), 3 к 2 (квинта) и 4 к 3 (кварта), она — прообраз 4 стихий — огня, воздуха, воды и тверди, 4 сторон света (запад, восток, север и юг) и 4 измерений телесного мира, существующего в трехмерном пространстве и одномерном времени, 4 времен года, 4 возрастов жизни (ребенок, юноша, муж и старец), учебного квадривиума (арифметика, геометрия, астрономия и музыка), четырех способностей души (четырех психических энергий: познавательной, ощутительной, наития и мнения). Тетрактида — символическое обозначение планеты Стильбон (Меркурий) и ее владык (Коя³⁰, Мнемосины³¹, Аполлона³² и Артемиды³³). Она символ Аполлона и божественного числа (APIΘMOZ). Тетрактида — символ гордости и страха божьего. Это «воздушный, небесный знак». Она определяет природу рудо-желтого (оранжевого, золотого) цвета, из растений — гиацинта и лавра, из птиц — лебедя (или розового фламинго), из животных — оленя и мыши.

Четверица порождает алмаз и уголь, олово и свинец (ANTPAΞ, АΔАМАΣ, KAΣΣITHPOΣ, MOΛYB-ΔOΣ). Космос, или большая тетрактида,— величайшая клятва пифагорейцев — является суммой четырех первых четных и нечетных чисел (1+3+5 + 7) + (2+4+6+8)=36. Тетрактида — равностно равностное (всесторонне равное) число — признак справедливости (4=2x2).

Пятерка (IIENTAΣ,- AΔOΣ) — число, порожденное первым четом и первым нечетом (2+3=5), само рождает декаду (5+5=10). Пятерка — одна из сторон эпитрита (3, 4, 5) и одна из частей золотого сечения (3, 5, 8).

Божественная пропорция золотого сечения возникает в пятиугольных формах симметрии — Пентагоне, пятиконечной звезде, пятилепестковом цветке, которые были некогда выбраны символами пифагорейского тайного союза, а позднее присвоены другими. Пятиугольные формы симметрии, а также логарифмическая спираль, графически выражающие ряд чисел и пропорцию, дающую самое загадочное иррациональное число, отражали согласно учению Пифагора глубинные сокровенные соответствия, лежащие в основе развития и развертывания вселенной, эволюции космоса. Пентада — символ титанов Иапета³⁴ и Фемиды³⁵, Атланта³⁶, Менойтия³⁷, Прометея³⁸ и Эпиметея³⁹, Ор и Мойр⁴⁰, Дике, планеты Фаэтон (Юпитер) и «священного брака». Пятерица — символ духовной лени и уравновешенности. Пятерка определяет природу желто-зеленого цвета и является «знаком зеленого листа».

Шестерка (ЕΞАКТΣ,- IΔOΣ) — первое число, которое приобщается ко всей числовой природе, ибо оно порождается произведением или суммой числового принципа (монады), первого четного (диады) и первого нечетного (триады) чисел (1+2+3=1x2x3=6). Будучи поделенным любым образом, получает одинаковую потенцию отнятых и остающихся (6:1=2x3; 6:2=1x3; 6:3=1x2). Это число совершенное, так как оно получается при любых комбинациях (6:2=1x3; 6—2=1+3). Произведение двух шестерок дает большую тетрактиду (6x6=36). Гексактида является «водным знаком». Она — символ титанов Океана⁴¹ и Тэтис⁴², Инаха⁴³, тельца Апида⁴⁴, Диониса⁴⁵, Океанид⁴⁶,

Нереид⁴⁷, Плеяд⁴⁸ (шести бессмертных), Харит⁴⁹, дриад Мелий⁵⁰, Афродиты Урании⁵¹ и священной телицы Ио⁵², планеты Фосфорос-Гесперос (Венеры). Это число определяет природу зелено-синего (лазурного) цвета, воды, из растений — ясеня, ольхи, плюща, хмеля и виноградной лозы, из птиц — сизого голубя, из животных — тельца (быка). Шестерка — символ ненасытности, невоздержанности в еде и питье, пустого тщеславия.

Семерка (ЕПТАКТΙΣ,- IΔOΣ) — не имеет одного и того же родителя (1+1=2; 2+2=4; 3+3=6; 4+4=8; 5+5=10) и не порождает других простых чисел. Она — символ надлежащего момента (рождения, зрелости и завершения), богини Афины, которая лишена матери и приснодева. Семь — число порядка Солнца в Космосе, символ титанов Крона⁵³ и Реи⁵⁴, их семи детей (Зевс, Аид, Посейдон, Гера, Гестия, Деметра и Пан), кентавра Хейрона⁵⁵, Пана⁵⁶ и кентавра Кротоса⁵⁷, планеты Файнон (Сатурн). Семь — также «водный знак», определяет природу иссиня-черного (фиолетового) цвета, из растений — липы, из птиц — ворона, из животных — коня. Седьмица — учебный цикл из семи основных дисциплин — грамматика, риторика, поэтика, арифметика, геометрия, астрономия и музыка. Семерка в числовом гадании предвещает насилие, похоть, зависть и уныние.

Октава (OKTAKTIΣ,- IΔOΣ) — порожденное те-трактидой число (4+4=8), сопричастно музыкальной гармонии из восьми тонов. Интервалы между 8 сферами космоса составляют октаву и гармонию. В каждой сфере сидит сирена и поет в определенной тональности. Бог небесной гармонии Аполлон. Восьмерка более всех причастна телесному миру, уступая лишь двойке. Она — одно из чисел божественной пропорции золотого сечения (1, 2, 3, 5, 8, 13 и т. д.). Восьмерка как четно-четное число соответствует титаниде Рее и богине Деметре. При числовых гаданиях предвещает меланхолию.

Девятка (ENNEAΣ,- AΔOΣ) — равностно рав-ностное число и признак справедливости, ибо порождено одним и тем же родителем, первым нечетом (9=3x3=3+3+3). Девятка — символ титана Крия и титанидов Астрая, Палланта и Персая. При числовом гадании она означает скупость и скаредность.

Десятка (ΔЕКАΣ,- АΔОΣ) — совершенное число, заключающее в себе всю природу чисел (5+5=10). Это — символ Космоса пифагорейцев из десяти сфер. Природой числа Пифагор считал декаду, так как все эллины и все варвары считают до десяти, а, дойдя до десяти, опять сворачивают к единице. А потенция десяти, говорит он, заключается в четырех и четверице (1+2+3+4=10). Десятка — символ Мнемосины и 9 Муз, Афины, Артемиды и Гекаты. При числовом гадании — предвещает страх божий.

Пифагорейцы говорили, что нечетные числа посвящены мужским богам вследствие неделимости, обращенности (ΣТРОФН) к себе и пребывания (MONH), причем «первые нечетные» (3 и 7) посвящены более монадическим и обращенным к себе богам (Арес и Крон), а «сложные нечетные» (9 и 15) — обладающим большей производительной силой, дальше отстоящим от 1 и более склонным к эманации (ПРООΔОΣ).

Четные числа, в свою очередь, посвящены женским богам вследствие делимости и прогресса (эманации), причем из них четно-нечетные (10) посвящены мужетворным богиням, как, например, владычице Афине или владычице Гекате и Артемиде, так как они девственницы и не прогрессируют далеко, а нечетно-четные (12) — более производительным, но не прогрессирующим далеко, а в равной степени сохраняющим мужеподобность и женственность и занимающим промежуточное положение между мужеподобными и женоподобными богинями вроде Анесидоры⁵⁸, которую почитали афиняне. Ее статуя была совершенно женоподобна, но ей добавляли бороду, символическое выражение мужественности. Наконец, четно-четное (4, 8) число посвящено постоянно прогрессирующим богиням, как, например, животворным Деметре и Рее: они прогрессируют далеко и постоянно.

Пифагор и его школа — первоисточник божественной пропорции золотого сечения (1:2=3:5= 5:8=8:13 и т. д.). Эта пропорция возникает в ряду чисел, в котором каждое последующее число есть сумма двух предыдущих (т. е. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т.д.). Соотношение двух соседних чисел между собой дает иррациональное число⁵⁹ (3 к 2, 5 к 3, 8 к 3, 13 к 8 и т. п.). При этом по мере возрастания чисел в ряду соотношение между ними ближе к наиболее полному значению этого отношения. Это единственное иррациональное число, квадрат которого равен ему с добавлением единицы, а рациональность его возрастает по мере увеличения чисел в пропорции.

Эта пропорция была названа Пифагором божественной, ибо она выражает сокровенные глубинные соответствия, присущие эволюции космоса. Спираль, построенная Пифагором по числам этой пропорции, есть символ движения, развития и развертывания вселенной.

Смысл эзотерической геометрии Пифагора состоял в обнаружении принципов, на которых основаны красота и порядок в природе. Божественная пропорция лежит в основании многих совершенных видимых форм вселенной — цветов, морских звезд, раковин.

Геометрия от Пифагора

Геометрия — это устное сообщение (IΣTOPIA) Пифагора, целиком исходившее от него. Он учился геометрии у египтян, которые занимались ею с древних времен.

Пифагор считал геометрию необходимой для философов. Ибо разумная часть души нуждается в математическом образовании как средстве, уводящем разум от творимых богами вещей к вечным сущностям, так как эти сущности находятся в самом боге и с ним и вокруг него.

Он учил, что из монады и диады гипостазировались числа, из чисел — точки, из точек — линии, из линий — плоские фигуры, из плоских — телесные фигуры, данные в ощущениях.

Пифагор одни геометрические проблемы впервые доставил из Египта, другие открыл сам. Все семнадцать теорем Евклида⁶⁰ исходят от Пифагора.

Пифагор открыл теорему: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (YΠOTENOYΣA) равен сумме квадратов катетов (КАТНТОΣ)». В благодарность за ее открытие он принес богам в жертву быка, слепленного из пшеничного теста.

Пифагору принадлежит постановка трех знаменитых математических проблем его школы. Эти проблемы таковы:

1. Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на три части.

2. Усвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имел бы объем, вдвое больший объема заданного куба («делийская проблема»).

3. Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Пифагором открыта и одна из замечательных теорем, вернее проблем, заключающаяся в построении по двум заданным фигурам третьей, равной по площади одной из заданных и подобной другой. Передают, что, найдя решение этой задачи, Пифагор принес благодарственную жертву и полагал это решение более исполненной Муз.

«Во всяком треугольнике, при продолжении одной из сторон, внешний угол равен двум внутренним и противолежащим, а три внутренних угла треугольника вместе равны двум прямым углам» — теорема, открытая пифагорейцами.

Открытия параболы (ПАРАВОΛН, «приложения»), гиперболы (ΥПЕРВОΛН) и эллипса (ЕΛΛΨОΣ) площадей — древние и принадлежат Музе пифагорейцев⁶¹. Когда данная площадь, построенная на данной прямой, совпадает с прямой на всей протяженности, тогда эта площадь «прикладывается» (образует параболу) к прямой; когда длина площади получится больше самой прямой, тогда она образует гиперболу; а когда меньше, так что после построения площади некий отрезок прямой остается вне ее, тогда она «образует эллипс».

Парадоксальная теорема Пифагора: «только три многоугольника могут заполнить все пространство вокруг одной точки: равносторонний треугольник, квадрат и равносторонний и равноугольный шестиугольник». Названные фигуры заполняют это пространство так: равносторонний треугольник, взятый шесть раз, так как две трети прямого угла на шесть будет четыре прямых; шестиугольник — три раза, так как каждый угол шестиугольника равен одному прямому с третью, а квадрат — четыре раза, так как каждый угол квадрата — прямой. Таким образом, пространство заполняют шесть равносторонних треугольников, сходясь углами в одной вершине, или три шестиугольника, или четыре квадрата. Любые другие многоугольники, как их ни прикладывай углами, дают в сумме либо меньше четырех прямых, либо больше, и только эти, согласно указанным числам, составляют ровно четыре прямых.

Он открыл развертывание потенций линий шара, исходящих из одной точки (ΔYNAMEΩΣ АПОΔЕΞEIΣ). Монада в геометрии Пифагора выражается одной точкой — центром сферы. Прекраснейшей из телесных фигур он считал шар (ΣФАΙРА).

Пифагор открыл, что периметр круга не равен трем диаметрам, как считали многие, а больше трех, и что круг, вписанный в треугольник, равен трем четвертым треугольника. Периметр круга он определил в три целых и одну седьмую его диаметра, вычислив таким образом одно из важнейших иррациональных чисел⁶².

Пифагор открыл тайну симметрии и асимметрии.

Он познал правильный октаэдр и додекаэдр, который считал сутью кристаллов пирита, что находят в Италии.

Пифагор открыл тайну построения двадцати-угольника, то есть двенадцатигранника, одной из пяти объемных фигур, которые можно вписать в форму сферы.

Пифагор описал правила построения объемных фигур, определения площадей и объемов для шара, цилиндра, конуса, пирамиды, усеченной пирамиды, куба, параллелепипеда, ромба.

Он же обнаружил рациональный треугольник — эпитрит со сторонами в 3, 4 и 5 частей. Согласно некоторым свидетельствам, Пифагор узнал о нем от египетских гарпедонаптов⁶³, которые строили прямые углы с помощью веревки, имевшей три, и четыре, и пять (всего двенадцать) узлов.

Пифагор искал геометрическое среднее единицы и двойки. Это привело его к изучению отношений сторон и диагонали квадрата. Так он обнаружил, что такое отношение не выражается рациональным числом.

Пифагор изобрел изощренные геометрические спирали. Спираль, вычисленная Пифагором, графически изображает ряд чисел, в котором каждое последующее число есть сумма двух предыдущих (т. е. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т. д.). Соотношение двух соседних чисел между собой дает иррациональное число (3 к 2, 5 к 3, 8 к 3, 13 к 8 и т. п.). При этом по мере возрастания чисел в ряду соотношение между ними ближе к наиболее полному значению этого отношения. Это единственное иррациональное число, квадрат которого равен ему с добавлением единицы, а рациональность которого возрастает по мере увеличения чисел в пропорции. Эта пропорция была названа Пифагором божественной, ибо она выражает сокровенные глубинные соответствия, присущие эволюции космоса. Спираль, построенная Пифагором, есть символ движения, развития и развертывания вселенной. Пифагор открыл также, что пропорция, лежащая в основе логарифмической спирали, возникает в пятиугольных формах симметрии, в Пентагоне и в пятиконечной звезде, избранных в свое время символами Пифагорейского тайного союза⁶⁴.

Каждая линия пятиконечной звезды рассекается другой на две части так, что меньшая часть соотносится с большей в пропорции, в какой большая часть соотносится с целой линией.

Открытую божественную числовую пропорцию Пифагор использовал первым для построения прямоугольника со сторонами, относящимися как 5 к 3, 8 к 5 или 13 к 8. Он же обнаружил видимую гармонию золотого сечения и разработал науку о зрительных восприятиях видимых фигур (Н ОПТΙКН ΘEΩPIA).

Пифагорейцы усовершенствовали угломерный прибор⁶⁵ для измерения высоты отдаленных предметов (Н ΔΙΟПТРА). Им же принадлежит разработка учения о визировании⁶⁶ (ТА ΔΙΟПТРΙКА).

Далее...